# Lucas-Kanade 光流

# 光流法介绍

光流描述了像素在图像中的运动，就像彗星☄划过天空中流动图像。同一个像素，随着时间的流逝，会在图像中运动，光流法就是追踪它的运动过程。

光流法根据追踪的像素数又可以分成稀疏光流法和稠密光流法。

稀疏光流法：计算部分像素的运动，稀疏法以Lucas-Kanade 光流为代表，可以用来目标追踪中跟踪特征点的位置。
稠密光流法：计算所有像素的运动，稠密光流法以Horn-Schunck光流为代表。

在Lucas-Kanade光流中，将相机的图像看成是随时间变化的，图像在时刻位置为处的像素，它的灰度值可以写成：

I (x, y, t)

通过这种方式将图像看成了关于位置和时间的函数。

考虑固定的空间点，在世界坐标系中的其位置是固定不变的，在时刻，其在图像中的像素坐标为。由于相机在运动，该空间点在时刻在图像中的像素坐标将发生变动，如何估计在时刻同个空间点的像素坐标呢？这正是光流法要解决的问题。

光流法的基本假设：同一个空间点的像素灰度值，在各个图像中的是固定不变的。

上述假设使用公式描述就是说，

时刻在图像中位置处的像素

在时刻运动到了图像的处，

基于灰度假设有以下关系成立:

I (x, y, t) = I (x + d x, y + d y, t + d t)

灰度假设是一个很强的假设，实际中很可能不成立，由于物体的材质/相机成想的角度/光照条件发生变化的时候，同一个空间点的像素灰度值很有可能发生变化，因此光流法的结果不一定可靠。

在此假设成立的前提下，来看下如何计算像素的运动。

对上式右侧进行泰勒展开：

I (x + d x, y + d y, t + d t) \approx I (x, y, t) + \frac{\partial I}{\partial x} d x + \frac{\partial I}{\partial y} d y + \frac{\partial I}{\partial t} d t

因为假设了灰度不变，即,因此：

\frac{\partial I}{\partial x} d x + \frac{\partial I}{\partial y} d y + \frac{\partial I}{\partial t} d t = 0

对上式两边同时除以得:

\frac{\partial I}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial I}{\partial y} \frac{d y}{d t} = - \frac{\partial I}{\partial t}

为像素在x轴上的速度，记为

为像素在y轴上的速度，记为

为图像在该点方向上的梯度，记为

图像灰度值对时间的变化量，记为（？_?不是已经假设了图像灰度值不变的吗？_?）

写成矩阵形式有：

[\begin{matrix} I_{x} & I_{y} \end{matrix}] [\begin{matrix} μ \\ v \end{matrix}] = - I_{t}

上式中，

是x/y方向的图像梯度，可以从图像中直接求得。

是像素灰度值的变化量，也可从图像中直接求得。

是像素在x,y方向的运动速度，有了速度，就可以求距离了，因此就是我们期望计算的量。

而上式是二元一次方程，单纯的通过上式还无法求出。

在LK光流中，引入了新的假设作为约束，即：某一个窗口内的像素具有相同的运动。

考虑一个大小为的窗口，其包含个像素。因为假设该窗口内像素具有相同的运动，因此可以得到个方程,

{[\begin{matrix} I_{x} & I_{y} \end{matrix}]}_{k} [\begin{matrix} μ \\ v \end{matrix}] = - I_{t k}, k = 1, 2, 3. . w^{2}

记：

A = [\begin{matrix} [I_{x}, I_{y}]_{1} \\ . . . \\ [I_{x}, I_{y}]_{k} \end{matrix}], b = [\begin{matrix} I_{t 1} \\ . . . \\ I_{t k} \end{matrix}]

上面的方程就变成了，

A [\begin{matrix} μ \\ v \end{matrix}] = b

这个是关于的超定线性方程，可以使用最小二乘法求解。

{[\begin{matrix} μ \\ v \end{matrix}]}^{*} = - (A^{T} A)^{- 1} A^{T} b

# OpenCV中`calcOpticalFlowPyrLK`函数

该方法使用迭代Lucas-Kanade算法计算稀疏特征点的光流，用来做特征点跟踪，该方法使用了金字塔，因此具有一定的尺度不变性。

void cv::calcOpticalFlowPyrLK(	
    InputArray 	        prevImg,
    InputArray 	        nextImg,
    InputArray 	        prevPts,
    InputOutputArray 	nextPts,
    OutputArray 	    status,
    OutputArray 	    err,
    Size 	            winSize = Size(21, 21),
    int 	            maxLevel = 3,
    TermCriteria 	    criteria = TermCriteria(TermCriteria::COUNT+TermCriteria::EPS, 30, 0.01),
    int 	            flags = 0,
    double          	minEigThreshold = 1e-4 
);

prevImg:上一帧图像
nextImg:下一帧图像
prevPts:上一帧图像中关键点
nextPts:根据光流计算的上一帧关键点在当前帧中的位置
status:关键点的跟踪状态，vector,1表示OK,0表示LOST
err:每个特征点的跟踪误差vector<float>有len(status)==len(nextPts)==len(prePts)==len(err)
winSize:在每层金字塔中，LK算法中用来求解计算像素运动而假设具有相同运动的窗口大小。
maxLevel:金字塔的层数，层数多，尺度不变性能更好，运算时间更久
criteria:迭代搜索算法的终止条件,默认值表示在指定的最大迭代次数criteria.maxCount(30)之后或当搜索窗口移动小于criteria.epsilon(0.01)时终止迭代
flags:设置误差或者初始值参数,可选下面两个值：
- OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW设置使用nextPts中的值作为迭代的初始值，如果不设置为OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW,初始状态就使用prevPts中的值，直接从prevPts复制到nextPts,OpenCV源码中对OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW的使用方式为:
```
if( flags & OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW )
    nextPt = nextPts[ptidx]*(float)(1./(1 << level));
else
    nextPt = prevPt;
```
  - OPTFLOW_LK_GET_MIN_EIGENVALS,flags设置为这个值时使用光流运动方程2x2的正规矩阵，也即空间梯度矩阵的最小特征值作为误差项。如果不设置成OPTFLOW_LK_GET_MIN_EIGENVALS,将原始点和移动点周围像素的距离除以窗口中的像素作为误差项。
minEigThreshold:迭代LK算法会计算光流运动方程2x2的正规矩阵，也即空间梯度矩阵的最小特征值，然后再除以运动不变窗口中的像素总数作为一个误差评价标准，当其小于minEigThreshold时，说明这个点已经追踪不到了，会将其从追踪特征点中移除，避免其对应相素运动的计算，可提升性能。

calcOpticalFlowPyrLK通常和goodFeatureToTrack方法一起使用，先使用GFTTDetector提取特征点的位置，再使用calcOpticalFlowPyrLK追踪其在连续视频流中的位置，避免了特征描述子的计算和特征点的匹配，可以极大的提升追踪的性能。


#include <memory>
#include <vector>
#include <cstdlib>

#include <opencv2/features2d.hpp>
#include <opencv2/opencv.hpp>

class TestOpticalFlowLK {
    public:
        typedef std::shared_ptr<TestOpticalFlowLK> Ptr;
        TestOpticalFlowLK();
        ~TestOpticalFlowLK() = default;

        void track(std::vector<cv::String> &filenames) const;

    private:
        cv::Ptr<cv::GFTTDetector> gftt_ptr_;

};

TestOpticalFlowLK::TestOpticalFlowLK()
{
    gftt_ptr_ = cv::GFTTDetector::create(500, 0.2, 50);
}

void TestOpticalFlowLK::track(std::vector<cv::String> &filenames) const
{
    assert(filenames.size() > 1);
    std::vector<cv::KeyPoint> kps1;
    std::vector<cv::Point2f>pts1, pts2;
    std::vector<cv::Scalar> colors;
    cv::Mat last_img = cv::imread(filenames[0], 0), cur_img;
    cv::Mat mask(last_img.size(), CV_8UC1, 255);
    gftt_ptr_->detect(last_img, kps1, mask);
    for(auto &kp : kps1) {
        int r = (int)(255. * rand() / (RAND_MAX + 1.f));
        int g = (int)(255. * rand() / (RAND_MAX + 1.f));
        int b = (int)(255. * rand() / (RAND_MAX + 1.f));
        std::cout << "r:" << r << "g:" << g << "b:" << b << std::endl;
        colors.emplace_back(r, g, b);
        pts1.push_back(kp.pt);
        pts2.push_back(kp.pt);
    }
    std::vector<uchar> status;
    // cv::Mat err;
    std::vector<float> err;
    cv::cvtColor(mask, mask, cv::COLOR_GRAY2BGR);
    cv::Mat frame;
    for (auto &filename : filenames)
    {
        std::cout << "filename: " << filename << std::endl;
        cur_img = cv::imread(filename, 0);
        cv::calcOpticalFlowPyrLK(last_img,
                                 cur_img,
                                 pts1,
                                 pts2,
                                 status,
                                 err,
                                 cv::Size(13, 13),
                                 3,
                                 cv::TermCriteria(cv::TermCriteria::COUNT + cv::TermCriteria::EPS, 30, 0.01),
                                 cv::OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW
                                 );
        cv::cvtColor(cur_img, cur_img, cv::COLOR_GRAY2BGR);
        int cnt = 0;
        for(size_t i = 0; i < status.size(); i++) {
            std::cout << " " << err[i];
            if(!status[i]) continue;

            if(abs((pts1[i].x - pts2[i].x)) > 80 | 
               abs((pts1[i].y - pts2[i].y)) > 80) continue;
            cv::line(mask, pts1[i], pts2[i], colors[i], 2);
            cv::circle(cur_img, pts2[i], 10, colors[i], 1);
            pts1[i].x = pts2[i].x;
            pts1[i].y = pts2[i].y;
            cnt += 1;
        }
        std::cout << std::endl;
        cv::addWeighted(mask, 0.5, cur_img, 0.5, -65, frame);
        cv::imshow("frame", frame);
        cv::waitKey(0);
        cv::cvtColor(cur_img, cur_img, cv::COLOR_BGR2GRAY);
        last_img = cur_img;
        cv::imwrite("frame.png", frame);
    }
}

上述代码的运行效果为：

完整演示代码和数据可以在以下仓库中找到：

https://gitee.com/lx_r/basic_cplusplus_examples (opens new window)

# 补充

因为假设了像素灰度值不变，还可以将其看成非线性优化问题，求解如下方程:

min_{Δ x, Δ y} | | I_{1} (x, y) - I_{2} (x + Δ x, y + Δ y) | |_{2}^{2}

从零开始实现LK光流在视觉SLAM十四讲中高博已经实现过了，更读详细信息可以参考slambook2仓库。

https://github.com/gaoxiang12/slambook2 (opens new window)

# reference

致谢：理论部分来自于《视觉SLAM十四讲(第二版)》P201-210.

1.https://zhuanlan.zhihu.com/p/384651830 (opens new window)

2.https://docs.opencv.org/4.6.0/dc/d6b/group__video__track.html#ga473e4b886d0bcc6b65831eb88ed93323 (opens new window)

3.Pyramidal implementation of the lucas kanade feature tracker (opens new window)

← 在OpenCV中使用SURF OpenCV Mat的位操作 →

# Lucas-Kanade 光流

# 光流法介绍

# OpenCV中calcOpticalFlowPyrLK函数

# 补充

# reference

# OpenCV中`calcOpticalFlowPyrLK`函数