傅里叶变换

存在条件

傅里叶变换存在的条件要求原函数绝对可积：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|f(t)|dt<\mathrm{\infty }$$

也就是说：

$$\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(t)=0$$

其实也很容易理解，

考虑最简单的一元函数，是函数与轴之间围起来的面积，如果要满足，则时必须无限趋近于轴，也即。

傅里叶变换与反变换

的傅里叶变换，从时域到频率域：

$$F(f)=\hat{f}(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{j\omega t}f(t)dt$$

的反傅里叶变换，从频率域到时域：

$$F^{-1}(\hat{f}(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j\omega t}\hat{f}(\omega )d\omega$$

导数的性质

导数的傅里叶变换

$$\begin{array}{rl}F(f^{\prime }(t))& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{j\omega t}{f}^{\prime }(t)dt\\ & =e^{j\omega t}f(t){|}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}+j\omega {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{j\omega t}f(t)dt\\ & =j\omega {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{j\omega t}f(t)dt\\ & =j\omega F(f)\end{array}$$

值得注意的是在公式中的第一项，根据傅里叶变换的存在条件，因此其结果为0，因此可以推导得到上面的公式。

reference

• 1.https://math.stackexchange.com/questions/430858/fourier-transform-of-derivative (opens new window)
• 2.https://math.libretexts.org/Bookshelves/Differential_Equations/Introduction_to_Partial_Differential_Equations_(Herman)/09%3A_Transform_Techniques_in_Physics/9.05%3A_Properties_of_the_Fourier_Transform (opens new window)
• 3.https://math.libretexts.org/Bookshelves/Differential_Equations/Introduction_to_Partial_Differential_Equations_(Herman)/09%3A_Transform_Techniques_in_Physics/9.03%3A_Exponential_Fourier_Transform#(9.3.5)/29 (opens new window)
• 4.https://en.wikipedia.org/wiki/Absolutely_integrable_function (opens new window)